要約
フレネル積分を一般化した積分$\displaystyle \int_0^\infty \sin(x^k)dx$の値は
\[\int_0^\infty \sin(x^k)dx=\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2k}\right)\]である．
フレネル積分
フレネル積分は
\[\int_0^\infty \sin(x^2)dx\]で表される積分である．ここでは，$x^2$を$x^k(k\geqq 2)$に置き換えた
\[\int_0^\infty \sin(x^k)dx\]をフレネル積分の一般化とし，この値を求める．ただし$k$は整数とする． 積分を求める道具として，コーシーの積分定理を用いる．
コーシーの積分定理
単連結領域$D$上で正則な関数$f(z)$，$D$内の任意の有限長の閉曲線$C$について
\[\oint_C f(z)dz=0\]が成立する．
また，特に次の不等式が成立することに注意する．
- $\sin \theta$に関する不等式
- $0\le \theta \le \pi/2$なる$\theta$に対して
\[\sin \theta \ge \frac{2}{\pi}\theta\]
が成立する．
- 証明
- グラフを考えればほとんど明らかである．$f(\theta)=\sin \theta-\dfrac{2}{\pi}\theta$とおく．$f’(\theta)=\cos \theta -\dfrac{2}{\pi}$である．$0<\dfrac{2}{\pi}<1$と$\cos \theta$の単調性から，$\cos\alpha =\dfrac{2}{\pi}$なる$\alpha(0< \alpha < \dfrac{\pi}{2})$がただ一つ存在する．$f(\theta)$は$0<\theta<\alpha$で単調増加，$\alpha<\theta<\dfrac{\pi}{2}$で単調減少である．$f(0)=f(\pi/2)=0$から
$\Box$
積分を分解する
\[f(z)=\exp(iz^k)\]とおき，下の画像のような積分路で$f(z)$を積分する．向きは，$C_1$は原点から$(R,0)$向き，$C_2$は反時計回り，$C_3$は弧の端から原点向きである．$C=C_1+C_2+C_3$とする．$C$は$\mathbb{C}$内の単純閉曲線となる．
$f(z)$は全平面で正則であるから，とくに$C$の中で正則である．よって，コーシーの積分定理より
\[\oint_C f(z)dz=\int_{C_1}f(z)dz+\int_{C_2}f(z)dz+\int_{C_3}f(z)dz=0\]が成立する．$\displaystyle I_i=\int_{C_i}f(z)dz$とおくと，定義から$I_1+I_2+I_3=0$が成り立つ．
\[\begin{align} C_1&=\{ t \mid 0\le t \le R \},\\ C_2&=\{ Re^{i\theta} \mid 0\le \theta \le \dfrac{\pi}{2k} \},\\ C_3&=\{\, te^{i\frac{\pi}{2k}} \mid 0\le t \le R \, \} \end{align}\]であるから
\[\begin{align} I_1&=\int_{C_1}f(z)dz=\int_0^R \exp(it^k)dt,\\ I_2&=\int_0^{\frac{\pi}{2k}}\exp(iR^ke^{ik\theta})Rie^{i\theta}d\theta,\\ I_3&=\int_{C_3}\exp(iz^k)dz\\ &=-e^{i\frac{\pi}{2k}}\int_0^R \exp (it^k\cdot e^{i\frac{\pi}{2}})dt\\ &=-e^{i\frac{\pi}{2k}}\int_0^R \exp (-t^k)dt \end{align}\]である．
\[\lim_{R\to \infty}\mathrm{Im}\, I_1 = \int_0^\infty \sin(x^k)dx\]であるため，$I_1, I_2$の値がわかれば$I_1 = -(I_2+I_3)$から$\displaystyle \int_0^\infty \sin(x^k)dx$の値が求められる．
積分の値を求める
$I_2$の値
$0\le \theta \le \dfrac{\pi}{2k}$より，$0\le k\theta \le \dfrac{\pi}{2}$である．これを用いると
\[\begin{align} |I_2| &\le R\int_0^{\frac{\pi}{2k}}\exp(-R^k\sin k\theta)d\theta\\ & \le R\int_0^{\frac{\pi}{2k}}\exp(-R^k\frac{2k}{\pi}\theta)d\theta\\ & =\dfrac{\pi}{2kR^{k-1}}(1-e^{-\frac{R^k}{k}})\\ & \longrightarrow 0 \qquad (R \longrightarrow \infty) \end{align}\]以上より，$R\to \infty$で$I_2\to 0$である．
$I_3$の値
\[I_3=-e^{i\frac{\pi}{2k}}\int_0^R \exp (-t^k)dt\]において$u=t^k$と変数変換をする．$u,t\ge 0$より，$t=u^{1/k}$であり$\dfrac{dt}{du}=\dfrac{1}{k}u^{1/k-1}$である．よって
\[\begin{align} I_3 &= -\frac{e^{i\frac{\pi}{2k}}}{k}\int_0^{R^k} u^{\frac{1}{k}-1}\exp (-u)dt\\ & \xrightarrow[R\to \infty]{} -\frac{e^{i\frac{\pi}{2k}}}{k}\Gamma \left(\frac{1}{k}\right) \end{align}\]である．ここでガンマ関数$\Gamma(\cdot)$は
\[\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-s}dx\]で定められる広義積分であり，この関数は$s>0$で収束する．また，$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$が成り立つ．
$1/k>0$より，$\dfrac{1}{k}\Gamma\left(\dfrac{1}{k}\right)=\Gamma\left(1+\dfrac{1}{k}\right)$であるから
\[\lim_{R\to \infty}I_3=-\frac{e^{i\frac{\pi}{2k}}}{k}\Gamma \left(\frac{1}{k}\right)=-e^{i\frac{\pi}{2k}}\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\]である．
積分の値
以上より
\[\begin{align} \lim_{R\to \infty}I_2 &= 0\\ \lim_{R\to \infty}I_3 &= -\frac{e^{i\frac{\pi}{2k}}}{k}\Gamma \left(\frac{1}{k}\right)=-e^{i\frac{\pi}{2k}}\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right) \end{align}\]であることがわかった．$I_1 = -(I_2+I_3)$より
\[\begin{align} \lim_{R\to \infty}\mathrm{Im}\, I_1 &= -\lim_{R\to \infty}\mathrm{Im}\, (I_2+I_3)\\ &= -\lim_{R\to \infty}\mathrm{Im}\, I_3\\ &= -\mathrm{Im}\, \left(\lim_{R\to \infty} I_3 \right)\\ &= \mathrm{Im}\, \left\{ e^{i\frac{\pi}{2k}}\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right) \right\}\\ &=\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2k}\right) \end{align}\]であり$\displaystyle\lim_{R\to \infty}\mathrm{Im}\, I_1 = \int_0^\infty \sin(x^k)dx$より
\[\int_0^\infty \sin(x^k)dx=\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2k}\right)\]である.
補足
$I_1$の実部を取れば
\[\displaystyle \int_0^\infty \cos(x^k)dx=\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2k}\right)\]であることも分かる．
参考文献
畑 政義，『数理科学のための複素関数論』，サイエンス社，2018年．